Доминик Купер родился в лондонском районе Гринвич 2 июня 1978 года. Он обучался в школе Томаса Таллиса, а также в Лондонской академии музыки и драматического искусства, которую окончил в 2000 году. Сначала Доминик работал на телевидении и снимался в кино в эпизодических ролях, а в 2001 году дебютировал на сцене Национального театра в Лондоне. Вскоре ему предложили роль Дакина в пьесе «Любители истории», с гастролями которой он выступал на Бродвее, в Сиднее, Веллингтоне и Гонконге. Эту роль он также исполнил в радиоверсии пьесы и в её экранизации в 2006 году.

У Доминика также были примечательные роли в фильмах «Попасть в десятку» (2006), «Герцогиня» (2008) и «Дэвид Копперфильд» (2008). Но наибольшую популярность ему принесла роль Ская, жениха Софи (в исполнении Аманды Сэйфрид) в фильме «Mamma Mia!» в 2008 году.